Gedwongen oscillaties

Wiskundige bijlage

De trilling van een veersysteem wordt bepaald door de veerconstante D, de massa m en de dempingfactor G . ( G is een maat voor de wrijvingskracht en wordt verondersteld evenredig met de snelheid te zijn.)
De top van de veer wordt op en neer bewogen overeenkomstig de formule y _E   =   A _E cos ( w t).
y _E is de uitwijking van de trillingsbron vanuit de middenpositie; A _E is de amplitude van de trilling van de trillingsbron, w is de overeenkomstige hoekfrequentie en t is de tijd.
De vraag is hoe je de grootte van de uitwijking y van de resonator (de massa aan de veer) ten opzichte van de middenstand in de tijd kunt berekenen.
Gebruik makend van w ₀   =   (D/m) ^1/2 wordt dit probleem beschreven door de volgende differentiaalvergelijking:

y''(t)   =   w 0 2 (A E cos ( w t) - y(t))   -   G y'(t) Beginwaarden:     y(0) = 0;   y'(0) = 0

Als je deze vergelijking wilt oplossen, moet je verschillende gevallen onderscheiden:

Geval 1: G < 2 w ₀

Geval 1.1: G < 2 w ₀ ; G ¹ 0 of w ¹ w ₀

y(t)   =   A _abs sin ( w t) + A _el cos ( w t)   +   e ^{- G t/2} [A ₁ sin ( w ₁ t) + B ₁ cos ( w ₁ t)]
w ₁   =   ( w ₀ ² - G ² /4) ^1/2
A _abs   =   A _E w ₀ ² G w / [( w ₀ ² - w ² ) ² + G ² w ² ]
A _el   =   A _E w ₀ ² ( w ₀ ² - w ² ) / [( w ₀ ² - w ² ) ² + G ² w ² ]
A ₁   =   - (A _abs w + ( G /2) A _el ) / w ₁
B ₁   =   - A _el

Geval 1.2: G < 2 w ₀ ; G = 0 en w = w ₀

y(t)   =   (A _E w t / 2) sin ( w t)

Geval 2: G = 2 w ₀

y(t)   =   A _abs sin ( w t) + A _el cos ( w t)   +   e ^{- G t/2} (A ₁ t + B ₁ )

A _abs   =   A _E w ₀ ² G w / ( w ₀ ² + w ² ) ²

A _el   =   A _E w ₀ ² ( w ₀ ² - w ² ) / ( w ₀ ² + w ² ) ²

A ₁   =   - (A _abs w + ( G /2) A _el )
B ₁   =   - A _el

Geval 3: G > 2 w ₀

y(t)   =   A _abs sin ( w t) + A _el cos ( w t)   +   e ^{- G t/2} [A ₁ sinh ( w ₁ t) + B ₁ cosh ( w ₁ t)]

w ₁   =   ( G ² /4 - w ₀ ² ) ^1/2
A _abs   =   A _E w ₀ ² G w / [( w ₀ ² - w ² ) ² + G ² w ² ]

A _el   =   A _E w ₀ ² ( w ₀ ² - w ² ) / [( w ₀ ² - w ² ) ² + G ² w ² ]

A ₁   =   - (A _abs w + ( G /2) A _el ) / w ₁

B ₁   =   - A _el