NAVIGATIE

Terug naar applet

Terug naar Virtueel Practicum Lokaal

Contact

Auteur:
Walter Fendt

Nederlandse bewerking:
Teun Koops

Laatste keer aangepast:

Gedwongen oscillaties

Wiskundige bijlage

De trilling van een veersysteem wordt bepaald door de veerconstante D, de massa m en de dempingfactor G . ( G is een maat voor de wrijvingskracht en wordt verondersteld evenredig met de snelheid te zijn.)
De top van de veer wordt op en neer bewogen overeenkomstig de formule y E   =   A E cos ( w t).
y E is de uitwijking van de trillingsbron vanuit de middenpositie; A E is de amplitude van de trilling van de trillingsbron, w is de overeenkomstige hoekfrequentie en t is de tijd.
De vraag is hoe je de grootte van de uitwijking y van de resonator (de massa aan de veer) ten opzichte van de middenstand in de tijd kunt berekenen.
Gebruik makend van w 0   =   (D/m) 1/2 wordt dit probleem beschreven door de volgende differentiaalvergelijking:
y''(t)   =   w 0 2 (A E cos ( w t) - y(t))   -   G y'(t)
Beginwaarden:     y(0) = 0;   y'(0) = 0

Als je deze vergelijking wilt oplossen, moet je verschillende gevallen onderscheiden:
Geval 1: G < 2 w 0

Geval 1.1: G < 2 w 0 ; G ¹ 0 of w ¹ w 0

y(t)   =   A abs sin ( w t) + A el cos ( w t)   +   e - G t/2 [A 1 sin ( w 1 t) + B 1 cos ( w 1 t)]
w 1   =   ( w 0 2 - G 2 /4) 1/2
A abs   =   A E w 0 2 G w / [( w 0 2 - w 2 ) 2 + G 2 w 2 ]
A el   =   A E w 0 2 ( w 0 2 - w 2 ) / [( w 0 2 - w 2 ) 2 + G 2 w 2 ]
A 1   =   - (A abs w + ( G /2) A el ) / w 1
B 1   =   - A el

Geval 1.2: G < 2 w 0 ; G = 0 en w = w 0
y(t)   =   (A E w t / 2) sin ( w t)

Geval 2: G = 2 w 0

y(t)   =   A abs sin ( w t) + A el cos ( w t)   +   e - G t/2 (A 1 t + B 1 )

A abs   =   A E w 0 2 G w / ( w 0 2 + w 2 ) 2

A el   =   A E w 0 2 ( w 0 2 - w 2 ) / ( w 0 2 + w 2 ) 2

A 1   =   - (A abs w + ( G /2) A el )
B 1   =   - A el

Geval 3: G > 2 w 0

y(t)   =   A abs sin ( w t) + A el cos ( w t)   +   e - G t/2 [A 1 sinh ( w 1 t) + B 1 cosh ( w 1 t)]

w 1   =   ( G 2 /4 - w 0 2 ) 1/2
A abs   =   A E w 0 2 G w / [( w 0 2 - w 2 ) 2 + G 2 w 2 ]

A el   =   A E w 0 2 ( w 0 2 - w 2 ) / [( w 0 2 - w 2 ) 2 + G 2 w 2 ]

A 1   =   - (A abs w + ( G /2) A el ) / w 1

B 1   =   - A el